足球投注manbetx表示法不是惟一的

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  展开全部置换群 - 正文 由置换组成的群。n 元集合到它自身的一个一一映射,称为Ω上的一个置换或 n元置换。Ω上的置换σ可表为

  或简记为,其中i1,i2,…,in是1,2,…,n的一个排列,α是 αk在置换σ下的像。有时也把α 在σ下的像记为ασ。根据映射的乘法可以定义Ω上任意两个置换σ与τ的乘积στ为。对于这样定义的运算,Ω上全体置换所组成的集合Sω成一个群,称为Ω上的对称群或n元对称群,简称对称群,其阶为 n!。对称群的子群称为Ω上的置换群或简称置换群。当Ω={1,2,…,n}时把Sω 记为Sn。较置换群更为一般的概念,有所谓的作用。

  作用 G是一个群,Ω是一个非空集合。G中每个元素g都对应Ω的一个映射:x→xg,x∈Ω,若满足:①;②xe=x(e是G的单位元素),则称G作用于Ω上。G作用于Ω上的充分必要条件是,G同态于Ω上的一个置换群。

  设G是Ω上的一个置换群,H是Γ上的一个置换群。如果存在Ω到Γ上的一个一一对应ρ,以及G到H上的一个一一对应φ,使得对Ω中任一个点α及G中任一个置换g都有,那么G与H 称为置换同构的。两个置换同构的置换群一定是同构的。但是同构的置换群不一定是置换同构的。

  如果 Ω与Γ都是n元集合,那么Sω与Sг是置换同构的。因此,n元对称群都与Sn置换同构。

  而σ保持Ω中其余的点不动,那么σ称为一个轮换,记作(α1,α2,…,αs)。若两个轮换没有公共的变动点,则称这两个轮换是不相交的。每一个置换都可表为不相交轮换的乘积,称为置换的轮换表示法,而且除表示式中轮换的次序以外,置换的轮换表示法是惟一的。

  两个点的轮换称为对换。任一置换都可表为一些对换的乘积,表示法不是惟一的,但是表示式中对换个数的奇偶是惟一确定的。若σ可表成偶数个对换的乘积,则称σ为偶置换。若σ可表成奇数个对换的乘积,则称σ为奇置换。

  Sω中全部偶置换组成Sω的一个正规子群,称为n元交错群,简称交错群,记作Aω。Sn的交错子群记作An。n元交错群都与An置换同构。当n≥2时,An的阶为n!/2。当n≠4时,An是单群,这是一类很重要的有限单群。

  置换群是有限群的一类重要例子,有限群的研究是从置换群开始的。置换群的重要性还在于下述事实。

  区及轨道 设G是Ω上一个置换群,墹是Ω的一个子集,g是G中任一元素,用墹g表示墹在g下的像集。若对于G中任一元素 g都有墹g=墹,或,则称墹是一个区。空集═以及Ω都是区,称为平凡区。其余的区称为非平凡区。两个区的交仍是区。

  若对G中任一元素g,都有墹g=墹,则称 墹是G的一个不变区。Ω及═都是不变区。不变区的交仍是不变区。

  设墹是G的一个不变区,如果对墹中任意两个点α、β都有G中一个元素g使得αg=β,那么墹称为G 的一个轨道(或传递集)。如果墹是G 的一个轨道,那么,任取墹中一个点α,都有。而且,G 的任一个轨道都可这样得到。如果墹及Γ是G 的两个轨道,那么墹=Г 或墹∩Г=═。因此,Ω分成G 的一些两两不交的轨道之并。轨道中元素的个数称为轨道的长度。

  稳定子群 设G是一个n元置换群,作用于Ω上。取定Ω中一个点α,是G 的一个子群,称为G 对α 的稳定子群。如果,并设(通常取恒等置换作为g1),那么。因此,G=|Gα||αG|,所以G 的轨道的长度一定能整除G 的阶。

  如果对任一α∈Ω,都有Gα=,则称G是半正则群。此时,G的任一轨道长都等于|G|。

  稳定子群的概念还可以推广到多个点的情形。取定Ω中k个点α1,α2,…,αk,则是G的一个子群,称为G对α1,α2,…,αk的稳定子群。显然有。

  传递性 设G是Ω上一个置换群。若对任意α,β∈Ω,都可找到g∈G,使得αg=β,则称G在Ω上是传递的;否则,称G是非传递的。G是传递群当且仅当Ω是 G的一个轨道。因此,若G是传递群,则|Ω|是|G|的一个因子。若G是传递群,且|Ω|=|G|,则称G是一个正则群。正则群就是传递的半正则群。

  若在一个非正则传递群G中,每个非单位元素最多保持一个文字不变,则G 称为弗罗贝尼乌斯群。在弗罗贝尼乌斯群G中,没有不变文字的置换与恒等置换一起构成一个正则群R,R是G 的一个特征子群。

  若对于Ω中任意两个k元有序点组α1,α2,…,αk及β1,β2,…,βk,都有G中一个置换g使,则称G是一个 k重传递群或 k传递群。k重传递群一定是(k-1)重传递的。如果k≥2,那么k重传递群称为多重传递群,否则称为单传递群。如果G是Ω上一个传递群,那么当且仅当Gα在Ω-{α}上(K-1)重传递群时,G是k重传递的。k重传递的n元置换群G 的阶可被n(n-1)…(n-k+1)整除。若G 的阶恰等于n(n-1)…(n-k+1),则称G是一个精确 k重传递群。此时,对于Ω中任意两个k元点组α1,α2,…,αk;β1,β2,…,βk,在G中恰有一个g使α=βi,i=1,2,…,k。

  对称群Sn是 n重传递的,交错群An是n-2重传递的。除去Sn及An外,有无穷多个3重传递群,但是只知道4个4重传递群,它们是法国数学家 .L.马蒂厄在1861年及1873年先后发现的次数分别为11,12,23及24的马蒂厄群M11,M12,M23,M24,其中M12及M24是5重传递的,而且M11是M12的稳定子群,M23是M24的稳定子群,它们的阶分别是

  在1981年有限单群分类的问题解决以后,所有双重传递群已被决定,并且知道没有传递重数大于或等于6的传递单群,而交错群与上述4个马蒂厄群是仅有的4重传递的单置换群。M23的稳定子群是M22,也是一个单群,这5 个马蒂厄群是最早发现的不属于有限单群的无穷系列的5个零散单群。

  秩 设G是Ω上的一个传递置换群,α∈Ω,G对α的稳定子群Gα作为Ω上的置换群,其轨道(包括平凡轨道{α})数称为G的秩。显然,当且仅当G的秩等于2时,G是双传递的。秩为 3的单传递群是一类很重要的单传递群,在26个零散单群中,有8个是作为秩是3的置换群构造出来的群。

  本原性 设G是Ω上一个传递群,若G没有非平凡区, 则称G是一个本原群,否则称为非本原群。多重传递群一定是本原群,Ω上传递群G是本原群的充分必要条件为其稳定子群Gα(α∈Ω)是G的极大子群。如果Ω上一个置换群G是k重传递的,并且对k-1个点的稳定子群在其余的点上是本原的,那么G称为k重本原的。

  k重集传递性及半传递性 比k重传递性较弱的一个概念是k重集传递性。设G是Ω上一个置换群,若对于Ω的任意两个k元子集Δ、Γ都可找到 G中一个元素g 使得Δg=Γ,则称G是k重集传递的。传递性的另一个推广是所谓半传递性,若G的轨道长都相等且大于1,则G称为半传递的,或重传递的。

  置换群的一个古老而有意义的问题,是找出全部互不置换同构的置换群。至今,已找出次数小于或等于11的全部置换群。所谓置换群的次数,即这个置换群所有实际变动的点的个数。当12≤n≤15时找出了全部n次传递群。足球投注manbetx而当n较大时,仅对n≤50找出了全部n次本原群。

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